Quadratische Funktion verstehen

Parabeln, Scheitelpunkt und Nullstellen sicher untersuchen

Quadratische Funktionen lassen sich besonders gut in der Scheitelpunktform oder der Normalform beschreiben. Beide Formen zeigen unterschiedliche Eigenschaften auf einen Blick.

Parameter interaktiv ausprobieren Parabel modellieren

Scheitelpunktform

f(x) = a · (x − c)² + d

Scheitelpunkt: Der Scheitelpunkt lautet direkt S(c | d).
Parameter a: Das Vorzeichen bestimmt die Öffnung, der Betrag die Breite der Parabel.
Symmetrieachse: Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden x = c.

Normalform

f(x) = ax² + bx + c

Die Normalform eignet sich besonders zum Rechnen und zum Vergleichen von Koeffizienten. Durch Ausmultiplizieren wird aus der Scheitelpunktform:

a(x − c)² + d = ax² − 2acx + ac² + d

Beachte: Das c der Normalform ist der konstante Term; in der Scheitelpunktform bezeichnet c die horizontale Verschiebung.

Beispiel

f(x) = 2(x − 3)² − 8 untersuchen

Aus der Scheitelpunktform lassen sich die Eigenschaften schrittweise bestimmen.

Scheitelpunkt ablesen: c = 3 und d = −8. Daher liegt der Scheitelpunkt bei S(3 | −8).
Öffnung und Breite bestimmen: a = 2 ist positiv, also öffnet sich die Parabel nach oben. Weil |a| > 1 gilt, ist sie schmaler als die Normalparabel.
Nullstellen berechnen: 0 = 2(x − 3)² − 8 führt zu (x − 3)² = 4. Somit gilt x₁ = 1 und x₂ = 5.
Normalform bilden: 2(x² − 6x + 9) − 8 = 2x² − 12x + 10.

Scheitelpunktform: f(x) = 2(x − 3)² − 8 | Normalform: f(x) = 2x² − 12x + 10

a > 0

Die Parabel ist nach oben geöffnet und besitzt am Scheitelpunkt ein Minimum.

a < 0

Die Parabel ist nach unten geöffnet und besitzt am Scheitelpunkt ein Maximum.

Anzahl der Nullstellen

Eine Parabel kann zwei, eine doppelte oder keine reelle Nullstelle besitzen.

Häufige Fehler

Bei (x − c) liegt der Scheitelpunkt bei +c, nicht bei −c.
Vor dem Wurzelziehen zuerst den quadratischen Term isolieren.
Beim Ausmultiplizieren die binomische Formel vollständig anwenden.
Eine negative Zahl unter der Quadratwurzel bedeutet: keine reellen Nullstellen.

Ergebnis prüfen

Setze x = c ein: Der Funktionswert muss d ergeben. Setze berechnete Nullstellen ein: Der Funktionswert muss jeweils null sein.

Nächster Schritt: Verändere a, c und d in der interaktiven Parabel-App.